يبدو درس المضاعفات سهلا في البداية، لأننا نستعمل جدول الضرب، لكن الصعوبة تظهر عندما يُطلب منا تحديد مضاعف مشترك، أو إيجاد المضاعف المشترك الأصغر، أو التمييز بين المضاعفات والقواسم. في هذا الدرس حول مضاعفات الأعداد: الدرس والتمارين سنفهم الفكرة خطوة خطوة، ثم نطبقها في أمثلة وتمارين محلولة.
ما مضاعف عدد طبيعي؟
يكون العدد مضاعفا لعدد آخر إذا استطعنا الحصول عليه بضرب ذلك العدد في عدد طبيعي.
القاعدة: العدد ب مضاعف للعدد أ إذا كان ب = أ × ن، حيث ن عدد طبيعي.
مثلا، العدد ٢٤ مضاعف للعدد ٦، لأن:
٢٤ = ٦ × ٤
والعدد ٣٥ مضاعف للعدد ٥، لأن:
٣٥ = ٥ × ٧
أما العدد ٢٦ فليس مضاعفا للعدد ٦، لأنه لا يوجد عدد طبيعي نضربه في ٦ فنحصل على ٢٦.
كيف نكتب مضاعفات عدد؟
لإيجاد مضاعفات العدد ٤، نضربه تباعا في الأعداد الطبيعية:
- ٤ × ٠ = ٠
- ٤ × ١ = ٤
- ٤ × ٢ = ٨
- ٤ × ٣ = ١٢
- ٤ × ٤ = ١٦
- ٤ × ٥ = ٢٠
إذن بعض مضاعفات العدد ٤ هي:
٠، ٤، ٨، ١٢، ١٦، ٢٠، ٢٤، ٢٨، ٣٢، …
تشير النقط إلى أن القائمة تستمر، لأن مضاعفات كل عدد طبيعي غير منعدم لا تنتهي.
📌 ملاحظة مهمة: إذا كانت مجموعة الأعداد الطبيعية المعتمدة تشمل الصفر، فإن الصفر مضاعف لكل عدد، لأن أ × ٠ = ٠. أما مضاعفات العدد صفر فهي صفر فقط.
جدول مضاعفات الأعداد يساعدك على رؤية النمط
يمكن إيجاد المضاعفات باستعمال جدول الضرب. ويبين الجدول الآتي المضاعفات الأولى لبعض الأعداد:
| العدد | بعض مضاعفاته |
|---|---|
| ٢ | ٠، ٢، ٤، ٦، ٨، ١٠، ١٢، … |
| ٣ | ٠، ٣، ٦، ٩، ١٢، ١٥، ١٨، … |
| ٥ | ٠، ٥، ١٠، ١٥، ٢٠، ٢٥، ٣٠، … |
| ٧ | ٠، ٧، ١٤، ٢١، ٢٨، ٣٥، ٤٢، … |
| ١٠ | ٠، ١٠، ٢٠، ٣٠، ٤٠، ٥٠، ٦٠، … |
لاحظ أن الفرق بين كل مضاعفين متتاليين يساوي العدد نفسه. ففي مضاعفات ٧ نضيف ٧ في كل مرة: ٧، ثم ١٤، ثم ٢١، ثم ٢٨.
كيف أعرف أن عددا معينا مضاعف لعدد آخر؟
هناك طريقتان أساسيتان، ونختار الأسهل حسب الأعداد الموجودة في السؤال.
الطريقة الأولى: البحث في جدول الضرب
للتحقق من أن ٤٢ مضاعف للعدد ٧، نسأل: هل يظهر ٤٢ في جدول ضرب ٧؟
نجد أن:
٧ × ٦ = ٤٢
إذن ٤٢ مضاعف للعدد ٧.
الطريقة الثانية: القسمة
نقسم العدد المراد اختباره على العدد الآخر:
- إذا كان حاصل القسمة عددا طبيعيا دون باق، فالعدد مضاعف.
- إذا بقي باق، فالعدد ليس مضاعفا.
مثال: هل ٧٢ مضاعف للعدد ٨؟
٧٢ ÷ ٨ = ٩
القسمة تامة وحاصلها عدد طبيعي، إذن ٧٢ مضاعف للعدد ٨.
مثال آخر: هل ٥٠ مضاعف للعدد ٦؟
٥٠ ÷ ٦ = ٨ والباقي ٢
القسمة غير تامة، ولذلك فإن ٥٠ ليس مضاعفا للعدد ٦.
💡 للتحقق بسرعة: إذا قلت إن عددا ما مضاعف للعدد ٩، فيجب أن تستطيع كتابته على الصورة: ٩ × عدد طبيعي.
الفرق بين المضاعفات والقواسم دون خلط
يخلط بعض التلاميذ بين المضاعف والقاسم لأن المفهومين مرتبطان بالقسمة والضرب. أفضل طريقة لفهم الفرق هي استعمال مثال واحد.
لدينا:
٢٤ = ٦ × ٤
من هذه المساواة نستنتج:
- ٢٤ مضاعف للعدد ٦.
- ٦ قاسم للعدد ٢٤.
- ٢٤ مضاعف للعدد ٤ أيضا.
- ٤ قاسم للعدد ٢٤ أيضا.
| المضاعفات | القواسم |
|---|---|
| نحصل عليها بضرب العدد في أعداد طبيعية. | تقسم العدد قسمة تامة. |
| مضاعفات العدد غير المنعدم لا نهائية. | قواسم العدد الطبيعي غير المنعدم محدودة. |
| من مضاعفات ٦: ٦، ١٢، ١٨، ٢٤، … | من قواسم ٢٤: ١، ٢، ٣، ٤، ٦، ٨، ١٢، ٢٤. |
إذن العلاقة تسير في اتجاهين: إذا كان ٢٤ مضاعفا للعدد ٦، فإن ٦ قاسم للعدد ٢٤.
ما المضاعفات المشتركة لعددين؟
المضاعف المشترك هو عدد ينتمي في الوقت نفسه إلى قائمة مضاعفات عددين أو أكثر.
لإيجاد المضاعفات المشتركة للعددين ٤ و٦، نكتب بعض مضاعفات كل واحد منهما:
- مضاعفات ٤: ٠، ٤، ٨، ١٢، ١٦، ٢٠، ٢٤، ٢٨، ٣٢، ٣٦، …
- مضاعفات ٦: ٠، ٦، ١٢، ١٨، ٢٤، ٣٠، ٣٦، …
الأعداد الموجودة في القائمتين هي:
٠، ١٢، ٢٤، ٣٦، …
إذن ١٢ و٢٤ و٣٦ مضاعفات مشتركة للعددين ٤ و٦.
كيف أتأكد من أن العدد مشترك؟
يجب أن يقبل القسمة على العددين معا. فالعدد ٢٤ مثلا:
- ٢٤ ÷ ٤ = ٦، وهي قسمة تامة.
- ٢٤ ÷ ٦ = ٤، وهي قسمة تامة.
إذن ٢٤ مضاعف مشترك للعددين ٤ و٦.
إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بطريقة صحيحة
المضاعف المشترك الأصغر لعددين غير منعدمين هو أصغر مضاعف مشترك موجب لهما.
نقول أصغر مضاعف مشترك موجب حتى لا نختار الصفر، لأن الصفر مضاعف مشترك لكل عددين، لكنه لا يُعتمد عند البحث عن المضاعف المشترك الأصغر في التمارين المعتادة.
طريقة كتابة المضاعفات
لنبحث عن المضاعف المشترك الأصغر للعددين ٨ و١٢.
- نكتب مضاعفات ٨: ٨، ١٦، ٢٤، ٣٢، ٤٠، ٤٨، …
- نكتب مضاعفات ١٢: ١٢، ٢٤، ٣٦، ٤٨، …
- نحدد أول عدد موجب ظهر في القائمتين، وهو ٢٤.
إذن المضاعف المشترك الأصغر للعددين ٨ و١٢ هو ٢٤.
ماذا أفعل إذا كانت الأعداد كبيرة؟
يمكن استعمال التفكيك إلى عوامل أولية. لنحسب المضاعف المشترك الأصغر للعددين ١٢ و١٨:
- ١٢ = ٢ × ٢ × ٣
- ١٨ = ٢ × ٣ × ٣
نأخذ العوامل اللازمة لتكوين عدد يقبل القسمة على ١٢ وعلى ١٨ معا: عاملين من ٢، وعاملين من ٣.
٢ × ٢ × ٣ × ٣ = ٣٦
إذن المضاعف المشترك الأصغر للعددين ١٢ و١٨ هو ٣٦.
نتحقق:
- ٣٦ ÷ ١٢ = ٣.
- ٣٦ ÷ ١٨ = ٢.
وهكذا تأكدنا من أن ٣٦ مضاعف للعددين معا.
⚠️ انتبه: لا تضرب العددين مباشرة في كل الحالات. حاصل ضربهما مضاعف مشترك فعلا، لكنه قد لا يكون المضاعف المشترك الأصغر. فحاصل ضرب ٨ و١٢ هو ٩٦، بينما المضاعف المشترك الأصغر هو ٢٤.
قواعد تساعد على حساب المضاعفات وفهمها
- كل عدد طبيعي غير منعدم مضاعف لنفسه، لأن أ = أ × ١.
- الصفر مضاعف لكل عدد طبيعي، لأن أ × ٠ = ٠.
- مضاعفات العدد ٢ أعداد زوجية.
- مضاعفات العدد ٥ تنتهي بالرقم ٠ أو ٥.
- مضاعفات العدد ١٠ تنتهي بالرقم ٠.
- إذا كان عددان من مضاعفات عدد معين، فإن مجموعهما مضاعف لذلك العدد.
مثلا، ١٢ و٢٠ مضاعفان للعدد ٤، ومجموعهما ٣٢ مضاعف للعدد ٤ أيضا:
١٢ + ٢٠ = ٣٢، و٣٢ = ٤ × ٨
والسبب هو:
١٢ = ٤ × ٣، و٢٠ = ٤ × ٥، إذن ١٢ + ٢٠ = ٤ × ٨.
أين نستخدم المضاعف المشترك الأصغر في المسائل؟
نستعمل المضاعف المشترك الأصغر غالبا عندما يتكرر حدثان بانتظام، ونريد معرفة أول وقت سيتزامنان فيه من جديد.
مثال: تنطلق حافلة كل ٦ دقائق، وتنطلق حافلة أخرى كل ٨ دقائق. انطلقتا معا الآن. بعد كم دقيقة تنطلقان معا من جديد؟
نبحث عن المضاعف المشترك الأصغر للعددين ٦ و٨:
- مضاعفات ٦: ٦، ١٢، ١٨، ٢٤، ٣٠، …
- مضاعفات ٨: ٨، ١٦، ٢٤، ٣٢، …
أول مضاعف مشترك موجب هو ٢٤.
الجواب: تنطلق الحافلتان معا من جديد بعد ٢٤ دقيقة.
في هذا النوع من المسائل، انتبه إلى كلمات مثل: كل، يتكرر، معا من جديد، أول مرة. إنها إشارات إلى احتمال استعمال المضاعف المشترك الأصغر.
أخطاء تكشف أن طريقة الحل تحتاج إلى تصحيح
اعتبار كل عدد أكبر مضاعفا للعدد الأصغر
ليس كل عدد كبير مضاعفا لعدد أصغر منه. فالعدد ٢٣ أكبر من ٥، لكنه ليس مضاعفا له، لأن قسمته على ٥ تترك باقيا.
التوقف بعد كتابة عدد قليل من المضاعفات
قد لا يظهر المضاعف المشترك بسرعة. عند مقارنة مضاعفات ٨ و١٢ مثلا، لا يكفي أن نكتب مضاعفين فقط لكل عدد؛ بل نستمر إلى أن يظهر عدد مشترك.
اختيار أي مضاعف مشترك بدل الأصغر
العددان ٢٤ و٤٨ مضاعفان مشتركان للعددين ٨ و١٢، لكن المطلوب هو الأصغر، أي ٢٤.
الخلط بين القاسم والمضاعف
إذا كان السؤال: «اكتب مضاعفات ٦»، فلا نكتب ١ و٢ و٣، لأنها قواسم للعدد ٦. نكتب: ٦، ١٢، ١٨، ٢٤، …
تمارين محلولة حول المضاعفات
التمرين الأول: إكمال قائمة المضاعفات
أكمل مضاعفات العدد ٧:
٠، ٧، ١٤، …، ٢٨، …، ٤٢.
التصحيح: نضيف ٧ في كل مرة:
٠، ٧، ١٤، ٢١، ٢٨، ٣٥، ٤٢.
التمرين الثاني: اختيار المضاعفات
حدد مضاعفات العدد ٦ من بين الأعداد الآتية:
١٢، ٢٠، ٢٤، ٣١، ٤٢، ٥٠.
التصحيح:
- ١٢ = ٦ × ٢، إذن هو مضاعف.
- ٢٠ لا يقبل القسمة على ٦ قسمة تامة.
- ٢٤ = ٦ × ٤، إذن هو مضاعف.
- ٣١ لا يقبل القسمة على ٦ قسمة تامة.
- ٤٢ = ٦ × ٧، إذن هو مضاعف.
- ٥٠ لا يقبل القسمة على ٦ قسمة تامة.
إذن مضاعفات العدد ٦ هي: ١٢، ٢٤، ٤٢.
التمرين الثالث: إيجاد العدد الناقص
أوجد العدد الطبيعي الناقص:
٩ × … = ٦٣
التصحيح: نقسم ٦٣ على ٩:
٦٣ ÷ ٩ = ٧
إذن العدد الناقص هو ٧.
التمرين الرابع: المضاعفات المشتركة
اكتب المضاعفات المشتركة الموجبة للعددين ٣ و٥ الأصغر من ٥٠.
التصحيح:
- مضاعفات ٣: ٣، ٦، ٩، ١٢، ١٥، ١٨، ٢١، ٢٤، ٢٧، ٣٠، ٣٣، ٣٦، ٣٩، ٤٢، ٤٥، ٤٨.
- مضاعفات ٥: ٥، ١٠، ١٥، ٢٠، ٢٥، ٣٠، ٣٥، ٤٠، ٤٥.
المضاعفات المشتركة الأصغر من ٥٠ هي: ١٥، ٣٠، ٤٥.
التمرين الخامس: المضاعف المشترك الأصغر
أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين ٩ و١٢.
التصحيح:
- مضاعفات ٩: ٩، ١٨، ٢٧، ٣٦، ٤٥، …
- مضاعفات ١٢: ١٢، ٢٤، ٣٦، ٤٨، …
أول مضاعف مشترك موجب هو ٣٦.
التمرين السادس: مسألة تطبيقية
يضيء مصباح أول كل ٤ ثوان، ويضيء مصباح ثان كل ٦ ثوان. أضاء المصباحان معا في اللحظة نفسها. بعد كم ثانية يضيئان معا من جديد؟
التصحيح: نبحث عن المضاعف المشترك الأصغر للعددين ٤ و٦:
- مضاعفات ٤: ٤، ٨، ١٢، ١٦، …
- مضاعفات ٦: ٦، ١٢، ١٨، …
المضاعف المشترك الأصغر هو ١٢، إذن يضيء المصباحان معا من جديد بعد ١٢ ثانية.
اختبار قصير للتحقق من فهمك
١. أي عدد مما يأتي مضاعف للعدد ٨؟
- أ: ١٨
- ب: ٣٢
- ج: ٤٢
٢. ما المضاعف المشترك الأصغر للعددين ٥ و١٠؟
- أ: ٥
- ب: ١٠
- ج: ٥٠
٣. أي عبارة صحيحة؟
- أ: مضاعفات العدد غير المنعدم محدودة.
- ب: كل عدد أكبر من ٦ مضاعف للعدد ٦.
- ج: إذا كانت القسمة تامة، فإن المقسوم مضاعف للمقسوم عليه.
٤. ما أول مضاعف مشترك موجب للعددين ٤ و٩؟
- أ: ١٣
- ب: ٣٦
- ج: ٤٥
مفتاح التصحيح
- السؤال الأول: ب، لأن ٣٢ = ٨ × ٤.
- السؤال الثاني: ب، لأن ١٠ هو أصغر مضاعف موجب للعددين ٥ و١٠.
- السؤال الثالث: ج.
- السؤال الرابع: ب، لأن ٣٦ = ٤ × ٩، كما أن ٣٦ = ٩ × ٤.
ما الذي ينبغي أن تتذكره قبل حل أي تمرين؟
- لإيجاد مضاعفات عدد، اضربه في الأعداد الطبيعية بالتتابع.
- للتحقق من أن عددًا مضاعف لعدد آخر، اقسمه عليه وابحث عن قسمة تامة.
- المضاعف المشترك يجب أن يكون مضاعفا لجميع الأعداد المطلوبة.
- المضاعف المشترك الأصغر هو أصغر مضاعف مشترك موجب.
- لا تخلط بين المضاعفات والقواسم: المضاعفات تنتج عن الضرب، والقواسم تقسم العدد قسمة تامة.
- تحقق من جوابك بإجراء القسمة على كل عدد معطى.
ولمراجعة دروس أخرى مناسبة للمرحلة الابتدائية، يمكن الرجوع إلى دروس المستوى الابتدائي.
